2. 考研
  3. (07)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ

(07)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ

admin2019-03-21  49
问题 (07)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
    (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
    (Ⅱ)求矩阵b．
选项
答案(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λi的特征向量为αi(i=1，2，3)，由特征值的定义与性质，有Akαi=λikαi(i=1，2，3，k=1，2，…)，于是有 Bα1=(A3-4A3+E)α1=(λ15-4λ13+1)α1=2α1 因α1≠0，故由定义知-2为B的一个特征值且α1为对应的一个特征向量．类似可得 Bα2=(λ25-4λ23+1)α2=α2 Bα3=(λ35-4λ33+1)α3=α3 因为A的全部特征值为λ1，λ2，λ3，所以B的全部特征值为λi5-4λi3+1(i=1，2，3)，即B的全部特征值为-2，1，1． 因-2为B的单特征值．故B的属于特征值-2的全部特征向量为k1α1，其中k1是不为零的任意常数． 设x=(x1，x2，x3)T为B的属于特征值1的任一特征向量．因为A是实对称矩阵，所以B也是实对称矩 阵．因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有(x1，x2，x3)α1=0，即 x1-x2+x3=0 解得该方程组的基础解系为 ξ2=(1，1，0)T，ξ3=(-1，0，1)T 故B的属于特征值1的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3，其中k2，k3为不全为零的任意常数． (Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，ξ2，ξ3为B的3个线性无关的特征向量，令矩阵 P=[ξ1，ξ2，ξ3]=[*] 则有 P-1BP=[*]P-1=[*] 从而有 [*]
解析
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考研数学二

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