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  3. 设α，β为n维单位列向量，P是n阶可逆矩阵，则下列方程组中，只有零解的是 ( )

设α，β为n维单位列向量，P是n阶可逆矩阵，则下列方程组中，只有零解的是 ( )

admin2014-04-23  31
问题 设α，β为n维单位列向量，P是n阶可逆矩阵，则下列方程组中，只有零解的是    (    )
选项 A、(E一ααT)x=0．   
B、(αTPαP-1一ααT)x=0．
C、(αTP-1βP一βαT)x=0．   
D、(E+ββT)x=0．
答案D
解析 法一  因Ax=(E一ααT)x=0，当x=α≠0时，有 (E一ααT)α=α一α(αTα)=0(其中αTα=1)，故排除A．因Bx=(αTPαP-1一ααT)x=0，当x=Pα≠0时，有 (αTPα-1一ααT)Pα=(αTPα)α=α(αTα)=0．故排除B．因Cx=(αTP-1βP一βαT)x=0，取x=P-1β≠0，有 (αTP-1β)β一β(αTP-1β)=0，故排除C．由排除法，故应选D．法二由题设条件，对任意的n维单位列向量α，β，任意的n阶可逆阵P，方程组均只有零解，若取特殊的α，β，P，使方程组有非零解，则该选项即可排除．如对A取α=[1，0，0]T，则有非零解．对B取α=[1，0，0]T，P=E；对C取α=β=[1，0，0]T，P=E．即可排除B，C，故应选D．
法二  对矩阵D=E+ββT，有D2=(E+ββT)2=E+2ββT+ββTββT(其中βTβ=1)=E+3ββT=3(E+ββT)2E=3D－2E，D2－3D=D(D－3E)=-2E．故D可逆，且故方程组Dx=(E+ββT)x=0只有零解，故应选D．法四  或设β=[b1，b2，…，bn]T，故(E+ββT)x=0只有零解，故应选D．
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考研数学一

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