2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。 证明： 存在ξ∈(0，3)，使f’’(ξ)=0。

设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。 证明： 存在ξ∈(0，3)，使f’’(ξ)=0。

admin2018-12-19  39
问题 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。
证明：
存在ξ∈(0，3)，使f’’(ξ)=0。
选项
答案因为f(2)+f(3)=2f(0)，即[*]又因为f(x)在[2，3]上连续，由介值定理知，至少存在一点η1∈[2，3]使得f(η1)=f(0)。 又因为函数在[0，η]上连续，在(0，η)上可导，且f(0)=f(η)，由罗尔定理知，存在ξ1∈(0，η)，有f’(ξ1)=0。 因为f(x)在[η，η1]上是连续的，在(η，η1)上是可导的，且满足f(η)=f(0)=f(η1)，由罗尔定理知，存在ξ2∈(η，η1)，有f’(ξ2)=0。 因为f(x)在[ξ1，ξ2]上是二阶可导的，且f’(ξ1)=f’(ξ2)=0，根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2)，使得f’’(ξ)=0。
解析
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考研数学二

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