(2013年)设奇函数f(χ)在[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1; (Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f〞(η)+f′(η)=1.

admin2016-05-30  40

问题 (2013年)设奇函数f(χ)在[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明:
    (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1;
    (Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f〞(η)+f′(η)=1.

选项

答案(Ⅰ)因为f(χ)是区间[-1,1]上的奇函数,所以f(0)=0. 因为函数f(χ)在区向[0,1]上可导,根据微分中值定理,存在ξ∈(0,1),使得 f(1)-f(0)=f′(ξ) 又因为f(1)=1,所以f′(ξ)=1. (Ⅱ)因为f(χ)是奇函数,所以f′(χ)是偶函数,故f′(-ξ)=f′(ξ)=1. 令F(χ)=[f′(χ)-1]eχ,则F(χ)可导,且F(-ξ)=F(ξ)=0. 根据罗尔定理,存在η∈(-ξ,ξ)[*](-1,1),使得F′(η)=0. 由F′(η)=[f〞(η)+f′(η)-1]eη且eη≠0,得f〞(η)+f′(η)=1.

解析
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