设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝aχ12＋2χ22－2χ32＋2bχ1χ3(b＞0)，其中二次型f的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． (1)求a、b的值； (2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和

admin2016-06-30 56

问题设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝X^TAX＝aχ₁²＋2χ₂²－2χ₃²＋2bχ₁χ₃(b＞0)，其中二次型f的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
(1)求a、b的值；
(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

选项

答案(1)f的矩阵为A＝[*]由λ₁＋λ₂＋λ₃＝a＋2＋(－2)＝1，及λ₁λ₂λ₃＝｜A｜＝2(－2a－b²)＝－12，解得a＝1，b＝2． (2)正交矩阵P＝[*]，可使P^TAP＝[*]，故在正交变换[*]下，f的标准形为f＝2y₁²＋2y₂²－3y₃²．

解析

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考研数学二

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设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝aχ12＋2χ22－2χ32＋2bχ1χ3(b＞0)，其中二次型f的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． (1)求a、b的值； (2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和

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将编号为1，2，3的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率.

设求矩阵A可对角化的概率.

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若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a＜x1＜x2＜x3＜b,证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f’’(ε)=0.

设函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件,且f(x)不恒等于常数,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)＞0.

设函数f(x)在(－∞,+∞)上有定义，在区间[0,2]上，f(x)=x(x2－4),若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2),其中k为常数。问k为何值时，f(x)在x=0处可导。

设y=y(x)是区间[－π,π]内过的光滑曲线，当－π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x≤π时，函数y(x)满足y"+y+x=0，求y(x)的表达式。

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x22+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

利用求复合函数偏导的方法，得[*]

ThedoctoradvisedKentoavoidstrenuousexercise.

2岁患儿，消瘦，多汗，气短，因肺炎住院治疗，体检中发现有心脏杂音，经x线、超声心电图等检查诊断为室间隔缺损。该患儿属于下列哪一型先天性心脏病

直剪试验的剪切面是人为固定的。()

某企业连续6年盈亏情况如下：(单位；万元)年2004年应纳企业所得税(　　)万元。

和其他财政收入相比，不属于税法特征的是()。(2018年新大纲试题，原考试真题考点在新大纲中删除)

姚某最近在A银行申请开通了“网上银行”业务。2008年7月1日，他通过“网上银行”缴纳了一笔电话费。对于此笔支付形成的日志文件，A银行应当保存至()。

第斯多惠说：“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理。”这一观点体现了教学的()原则。

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设有栈s和队列Q，初始状态均为空。首先依次将A，B，C，D，E，F入栈，然后从栈中退出三个元素依次入队，再将X，Y，Z入栈后，将栈中所有元素退出并依次人队，最后将队列中所有元素退出，则退队元素的顺序为()。

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