设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，其中αn≠0，若Aα1=α2,Aα2=α3，…，Aαn－1=αn，Aαn=0．求A的特征值、特征向量．

admin2017-06-14 20

问题设A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_n是n维列向量，其中α_n≠0，若Aα₁=α₂,Aα₂=α₃，…，Aα_n－1=α_n，Aα_n=0．
求A的特征值、特征向量．

选项

答案将Aα₁=α₂，Aα₂=α₃，…，Aα_n=0用矩阵表示为 A[α₁，α₂，…，α_n]=[α₁，α₂，…，α_n－1，0] [*] 从α₁，α₂，…，α_n线性无关知，矩阵[α₁，α₂，…，α_n]可逆，从而 [*] 得知A的特征值全为0，又因r(A)=r(B)=n－1，所以齐次方程组Ax=0的基础解系仅由 n－(n－1)=1个向量组成，所以A的全部特征向量为kα_n，k≠0．

解析

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考研数学一

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已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；
已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．
设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为
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设a1，a2，…，at为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+a1，β+a2，…，β+at线性无关．

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