设a1,a2,…,at为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+a1,β+a2,…,β+at线性无关.

admin2013-08-30  43

问题 设a1,a2,…,at为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+a1,β+a2,…,β+at线性无关.

选项

答案设β,a1,a2,…,at线性相关,令λβ+λ1a12a2+…+λtat=0, 因为a1,a2,…,at为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解, 因此A(λβ+λ1a12a2+…+λtat)=λ(Aβ),因为Aβ≠0,所以λ=0, 因此β,a1,a2,…,at线性无关,令kβ+k1(β+a1)+k2(β+a2)+…+kt(β+at)=0, 即(k+k1+…+kt)β+k1a1+…+ktat=0, ∵β,a1,a2,…,at线性无关,[*] ∴β,β+a1,β+a2,…,β+at线性无关.

解析
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