设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若 Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn－1=αn，Aαn=0．证明：α1，α2，…，αn线性无关；

admin2018-05-21 22

问题设A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_n是n维列向量，且α_n≠0，若
Aα₁=α₂，Aα₂=α₃，…，Aα_n－1=α_n，Aα_n=0．
证明：α₁，α₂，…，α_n线性无关；

选项

答案令x₁α₁+x₂α₂+…+x_nα_n=0，则 x₁Aα₁+x₂Aα₂+…+x_nAα_n=0[*]x₁α₂+x₂α₃+…+x_n－1α_n=0 …x₁Aα₂+x₂Aα₃+…+x_n－1Aα_n=0[*]x₁α₃+x₂α₄+…+x_n－2α_n=0 x₁α_n=0 因为α_n≠0，所以x₁=0，反推可得x₂=…=x_n=0，所以α₁，α₂，…，_n线性无关．

解析

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考研数学一

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设α1，α2，α3，α4，β为四维列向量组，A=(α1，α2，α3，α4)，已知方程组Ax=β的通解是(一1，1，0，2)T+k(1，一1，2，0)T．(Ⅰ)β能否由α1，α2，α3线性表示?(Ⅱ)求α1，α2，α3，α4，β的一个极大线性无关组．
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