[2001年] 设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数,且f’’(x)≠0.试证: 对于(一1,1)内任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θx)成立;

admin2019-04-08  37

问题 [2001年]  设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数,且f’’(x)≠0.试证:
对于(一1,1)内任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θx)成立;

选项

答案取x0=0,由拉格朗日中值定理知,对任意x∈(一1,1),x≠0,存在θ∈(0,1)使f(x)=f(0)+xf’(θx),其中θ与x有关.由f’’(x)连续且f’’(x)≠0知,f’’(x)在(-1,1)内不变号.因为如果f’’(x)变号,则由f’’(x)连续,利用零点定理知,必有x0存在,使f’’(x0)=0,与f’’(x)≠0矛盾.不妨设f’’(x)>0,则f’(x)在(一1,1)内严格单增,故上题中的θ唯一确定.

解析
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