设总体X的分布函数为 其中θ为未知参数且大于零,X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本。 (Ⅰ)求E(X),E(X2); (Ⅱ)求θ的最大似然估计量; (Ⅲ)是否存在实数a,使得对任意的ε>0,都有

admin2018-04-11  51

问题 设总体X的分布函数为

其中θ为未知参数且大于零,X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本。
(Ⅰ)求E(X),E(X2);
(Ⅱ)求θ的最大似然估计量
(Ⅲ)是否存在实数a,使得对任意的ε>0,都有

选项

答案(Ⅰ)总体X的概率密度函数为 [*] (Ⅱ)似然函数为 [*] 当所有的观测值都大于零时,有lnL(θ)=nln2+[*]=0,得θ的最大似然估计值为[*]从而θ的最大似然估计量为[*] (Ⅲ)因为X1,X2,…,Xn独立同分布,显然对应的X12,X22,…,Xn2也独立同分布,又由(Ⅰ)可知 E(Xi2)=θ,即Xi2的数学期望存在。根据辛钦大数定律可得 [*] 而E(X2)=θ,所以存在常数a=θ,使得对任意的ε>0,都有 [*]

解析
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