求幂级数的收敛域及和函数S(x).

admin2019-03-12  39

问题 求幂级数的收敛域及和函数S(x).

选项

答案 [*] 所以当|x|<1时,即|x|<1时,所给幂级数收敛;当|x|>1时,所给幂级数发散; [*] 故所给幂级数的收敛域为[一1,1]. 在(一1,1)内, [*] 又S1’(0)=0,于是S1’(x)=arctanx. 同理 S1(x)一S1(0)=∫0xS1’(t)dt=∫0xarctantdt=[*] 又S1(0)=0,所以 [*] 故 S(x)=2x2arctanx—xln(1+x2),x∈(一1,1). 由于所给幂级数在x=±1处都收敛,且 S(x)=2x2arctanx—xln(1+x2) 在x=±1处都连续,所以S(x)在x=±1成立,即 S(x)=2x2arctanx—xln(1+x2),x∈[一1,1].

解析
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