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设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds,求f(t).
设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds,求f(t).
admin
2017-07-28
34
问题
设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫
0
t
f(s)sinsds,求f(t).
选项
答案
因f(t)连续[*]∫
0
t
f(s)sinsds可导[*]f(t)可导.于是,将题设等式两边求导可得 f’(t)=一2sin2t+f(t)sint,即f’(t)一f(t)sint=一2sin2t,又方程中令t=0得f(0)=1. 这是一阶线性微分方程的初值问题.将方程两边乘μ=e
-∫sintdt
=e
cost
可得 [e
cost
f(t)]’=一4sintcoste
cost
积分得 e
cost
f(t)=4∫costd(e
cost
)=4(cost一1)e
cost
+C. 由f(0)=1得C=e.因此,f(t)=e
1-cost
+4(cost一1).
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/fMwRFFFM
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考研数学一
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