2. 考研
  3. 设E是n阶单位矩阵，E+A是n阶可逆矩阵，则下列关系式中不恒成立的是( )．

设E是n阶单位矩阵，E+A是n阶可逆矩阵，则下列关系式中不恒成立的是( )．

admin2021-07-27  29
问题 设E是n阶单位矩阵，E+A是n阶可逆矩阵，则下列关系式中不恒成立的是(          )．
选项 A、(E-A)(E+A)2=(E+A)2(E-A)
B、(E-A)(E+A)T=(E+A)T(E-A)
C、(E-A)(E+A)-1=(E+A)-1(E-A)
D、(E-A)(E+A)*=(E+A)*(E-A)
答案B
解析 因EA=AE=A，AA2=A2A=A3，AA-1=A-1A=E，AA*=A*A=｜A｜E，故知A和E，A2，A-1，A*乘法运算均可交换。但(E+A)(E+A)T≠(E+A)T(E+A)．事实上，(E-A)(E+A)T=[2E-(E+A)](E+A)T≠(E+A)T[2E-(E+A)]=(E+A)T(E-A)．故应选(B)．对于(A)，(C)，(D)均成立。以(C)为例，有(E-A)(E+A)-1=[2E-(A+E)](E+A)-1=2E(E+A)-1-(A+E)(A+E)-1=(E+A)-12E-(A+E)-1(A+E)=(A+E)-1[2E-(A+E)]=(A+E)2(E-A)．同理，(A)，(D)也成立．
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考研数学二

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