[2011年] 求方程karctanx-x=0不同实根的个数,其中k为参数.

admin2019-07-23  21

问题 [2011年]  求方程karctanx-x=0不同实根的个数,其中k为参数.

选项

答案令f(x)=karctanx-x,则f(x)为(一∞,+∞)上的奇函数,且 f(0)=0,[*] (1)当k一1≤0时,f’(x)<0(x≠0),故f(x)在(一∞,+∞)内单调减少,方程f(x)=0只有一个实根x=0. (2)当k一1>0即k>1时,由k—1—x2=0,得到[*].因而当[*]时,f’(x)>0,即f(x)单调增加;当[*]时,f’(x)<0,f(x)单调减少,故[*]为f(x)在(0,+∞)内的最大值.又由于f(0)=0,其最大值[*].又因[*],曲线f(x)与x轴在(0,+∞)内有两个交点,除0以外还存在ξ∈(0,+∞)使f(ξ)=0. 当[*]时,f’(x)>0,即f(x)单调增加,在[*]内f(x)单调减少,故[*]为f(x)在(一∞,0)内的最小值.曲线f(x)与x轴在(一∞,0)内有两个交点,除0以外,还存在一ξ∈(一∞,0)使f(一ξ)=0,故当k>1时方程f(x)=0有三个不同实根一ξ,0,ξ,且分别位于[*]内.此时f(x)的草图如图所示. [*]

解析
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