[2006年] 设函数y=f(x)具有二阶导数,且f′(x)>0,f″(x)>0,Δx为自变量x在点x0处的增量,Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若Δx>0,则( ).

admin2019-04-05  62

问题 [2006年]  设函数y=f(x)具有二阶导数,且f′(x)>0,f″(x)>0,Δx为自变量x在点x0处的增量,Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若Δx>0,则(    ).

选项 A、0<dy<Δy
B、0<Δy<dy
C、Δy<dy<0  
D、dy<Δy<0

答案A

解析  题设条件有明显的几何意义可用图示法求解.
    解一  仅(A)入选.由f′(x)>0,f″(x)>0知,函数f(x)单调增加,曲线y=f(x)是凹向.作函数y=f(x)的图形,如图1.2.5.6所示.

    由图中易看出,当Δx>0时,有Δy>dy=f′(x0)dx=f′(x0)Δx>0.
    解二  因Δy=f(x0+Δx)一f(x0)为函数差的形式,这警示我们可用拉格朗日中值定理Δy=f(x0+Δx)一f(x0)=f′(ξ)Δx,x0<ξ<x0+Δx求之.因f″(x)>0,故f′(x)单调增加,有f′(ξ)>f′(x0).又Δx>0,则
Δy=f′(ξ)Δx>f′(x0)Δx=dy>0,  即0<dy<Δy.
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