2. 考研
  3. [2002年] 设函数f(x)在x=0的某个邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f＇(0)≠0，f＂(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)是比h2高阶的无穷小．

[2002年] 设函数f(x)在x=0的某个邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f＇(0)≠0，f＂(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)是比h2高阶的无穷小．

admin2019-06-09  44
问题 [2002年]  设函数f(x)在x=0的某个邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f＇(0)≠0，f＂(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)是比h2高阶的无穷小．
选项
答案 为证三个实数唯一存在，设法找出三个方程，再用克拉默法则证其解唯一． 注意到f(0)≠0，f＇(0)≠0，f＂(0)≠O，也可用麦克劳林展开式证明． 证 因为当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)是比h2高阶的无穷小，故其本身必是无穷小，即[*][λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)]=0． 因f(x)在x=0处连续，得到 0=[*][λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)]一(λ1+λ2+λ3一1)f(0)， 而f(0)≠0，所以得 λ1+λ2+λ3一1=0． 又[*][λ1f＂(h)+4λ2f＂(2h)+9λ3f＂(3h)] =[*]( λ1+4λ2+9λ3)f＂(0)． 因为f＂(0)≠0，故得 λ1+4λ2+9λ3=0， ② 其中还包含0=[*][λ1f＇(h)+2λ2f＇(2h)+3λ3f＇(3h)]=(1λ1+2λ2+3λ3)f＇(0). 因为f＇(0)≠0，有 λ1+2λ2+3λ3=0 ③ 因此由式①、式②、式③得λ1，λ2，λ3所满足的线性方程组： [*]因其系数行列式(范德蒙行列式)[*]=(2—1)(3—1)(3—2)=2≠0， 故由克拉默法则知，存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)是比h2高阶的无穷小．
解析
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考研数学二

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