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设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上二阶可导,x=1是f(x)的极值点且。证明:存在ξ∈(0,1),使得f”(ξ)=0。
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上二阶可导,x=1是f(x)的极值点且。证明:存在ξ∈(0,1),使得f”(ξ)=0。
admin
2016-02-27
15
问题
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上二阶可导,x=1是f(x)的极值点且
。证明:存在ξ∈(0,1),使得f”(ξ)=0。
选项
答案
由于x=1是f(x)的极值点,所以f’(1)=0。 因f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上二阶可导,所以由积分中值定理可知,存在η∈[*],使得 [*] 又因f(x)在[*]上连续,在[*]上可导,所以由罗尔定理可知,存在[*], 使得 f’(ζ)=0。 再由f’(x)在[ζ,1]上连续,在(ζ,1)上可导,且f’(ζ)=f’(1)=0可知,存在ξ∈(ζ,1)[*](0,1),使得 f”(ξ)=0。
解析
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考研数学二
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