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设3阶实对称矩阵A的秩为2,且 求A的所有特征值与特征向量;
设3阶实对称矩阵A的秩为2,且 求A的所有特征值与特征向量;
admin
2021-02-25
24
问题
设3阶实对称矩阵A的秩为2,且
求A的所有特征值与特征向量;
选项
答案
解法1:由题设知 [*] 所以,由特征值与特征向量的定义,λ
1
=1是A的一个特征值,对应的一个特征向量为α
1
=(1,0,1)
T
.λ
2
=-1是A的又一个特征值,对应的一个特征向量为α
2
=(1,0,-1)
T
. 又r(A)=2,所以A的另一特征值λ
3
=0,设λ
3
对应的特征向量为α
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,由题设知,α
T
1
α
3
=0,α
T
2
α
3
=0,即 [*] 解得基础解系为α
3
=(0,1,0)
T
. 故A的特征值为λ
1
=1,λ
2
=-1,λ
3
=0.依次对应的特征向量为 K
1
(1,0,1)
T
,K
2
(1,0,-1)
T
,K
3
(0,1,0)
T
, 其中K
1
,K
2
,K
3
均是不为0的任意常数. 解法2:设[*],由 [*] 有 [*] 得a=0,c=1,b=0,e=0,f=0.于是 [*] 再由r(A)=2,得d=0.然后再求A的特征值与特征向量.
解析
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考研数学二
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