2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由卢β1，β2，…，βt线性表出．

设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由卢β1，β2，…，βt线性表出．

admin2018-06-12  48
问题 设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由卢β1，β2，…，βt线性表出．
选项
答案必要性．因为α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关，故存在不全为0的k1，k2，…，ks，l1，l2，…，lt使得k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＋l1β1＋l2β2＋…＋ltβt＝0，令 γ＝k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝－l1β1－l2β2－…－ltβt， 则必有γ≠0．否则 k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝0 且－l1β1－l2β2－…－ltβt＝0． 由于α1，α2，…，αs与β1，β2，…，βt均线性无关，故k1＝k2＝…＝ks＝0，l1＝l2＝…＝lt＝0，这与k1，k2，…，ks，l1，l2，…，lt不全为0相矛盾．从而有非0的γ，它既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由β1，β2，…，βt线性表出． 充分性．由于有非0的γ使 γ＝χ1α1＋χ2α2＋…χsαs且γ＝y1β1＋y2β2＋…＋ytβt， 那么χ1，χ2，…，χs与y1，y2，…，yt必不全为0．从而 χ1α1＋χ2α2＋…＋χsαs－y1β1－y2β2－…－ytβt＝0， 即α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt，线性相关．
解析
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考研数学一

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