已知f’’(x)＜0，f(0)=0，试证：对任意的两正数x1和x2，恒有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)成立．

admin2013-09-15 51

问题已知f^’’(x)＜0，f(0)=0，试证：对任意的两正数x₁和x₂，恒有f(x₁+x₂)＜f(x₁)+f(x₂)成立．

选项

答案令F(x)=f(x+x²)-f(x)-f(x₂)，则F^’(x)=f^’(x+x²)-f^’(x)=x₂f^’’(x+θx₂)＜0(0＜θ＜1)．可见F(x)单调减少，又x₁＞0，故F(x₁)＜F(0)，即f(x₁+x₂)-f(x₁)-f(x₂)＜0，也即f(x₁+x₂)＜f(x₁)+f(x₂)．

解析

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考研数学二

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