设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵。

admin2021-01-25  73

问题 设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵。

选项

答案方法一:BT=(λE+ATA)T=λET+(ATA)T=λE+AT(AT)T=λE+ATA=B,根据实对称矩阵的定义,故B是实对称矩阵。对任意的非零向量x,xTAT=(Ax)T,有 xT(λE+ATA)x=xT(λE)x+xT(ATA)x=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)TAx, 因x≠0,故有xTx>0。(设x=(a1,a2,…,an)T≠0,则ai,i=1,2,…,n中至少有一个不为零,则ai2,i=1,2,…,n中至少有一个大于零,故xTx=[*]a2>0)。 (Ax)TAx≥0(设Ax=(b1,b2,…,bn)T,(Ax)TAx=[*]bi2≥0, 因为Ax有可能为零,即有可能bi=0,i=1,2,…,n,故这里可能取等号。) 故当λ>0时,λxTx>0。对任意的x≠0,均有 xTBx=xT(λE+ATA)x=λxTx+(Ax)TAx>0, 由正定矩阵的定义,B是正定矩阵。 方法二:B正定→B的全部特征值大于零。设B有特征值μ,对应的特征向量为ξ,由特征值和特征向量的定义,Bξ=μξ,将B=λE+ATA代入,得 (λE+ATA)ξ=μξ,其中ξ≠0, 上式两边左乘ξT,得 ξT(λE+ATA)ξ=λξTξ+ξTATAg=λξTξ+(Aξ)T(Aξ)=μξTξ, 变形得 (Aξ)T(Aξ)=(μ—λ)ξTξ。 因ξ≠0,设ξ=(c1,c2,…,cn)T≠0,则ci,i=1,2,…,n中至少有一个不为零,则ci2,i=1,2,…,n中至少有一个大于零,故 ξTξ=[*]ci2>0,(Aξ)T(Aξ)≥0(设Aξ=(d1,d2,…,dn)T,(Aξ)TAξ=[*]di2≥0, 因为Aξ有可能为零,即有可能di=0,i=1,2,…,n,故这里可能取等号。)故 [*] 所以,当λ>0时,有μ≥λ>0,故知N的特征值μ全部大于零,B是正定矩阵。

解析
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