[2015年] 已知函数f(x，y)满足f″xy(x，y)=2(y+1)ex， f′x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．

admin2019-04-05 59

问题 [2015年] 已知函数f(x，y)满足f″_xy(x，y)=2(y+1)e^x， f′_x(x，0)=(x+1)e^x，f(0，y)=y²+2y，求f(x，y)的极值．

选项

答案由题设条件先求出f(x，y)的表达式，再由二元函数无条件极值判定的充分条件求出极值点及极值．由f″_xy(x，y)=2(y+1)e^x得到 ∫f″_xy(x，y)dy=∫2(y+1)e^xdy=(y+1)²e^x+φ(x)，即 f′_x(x，y)=(y+1)²e^x+φ(x)．又∫f′_x(x，y)dx=∫[(y+1)²e^x+φ(x)]dx=(y+1)²e^x+∫φ(x)dx+c，即 f(x，y)=(y+1)²e^x+∫₀^xφ(x)dx+c．由f(0，y)=y²+2y得(y+1)²+c=y²+2y，解得c=一1，于是f(x，y)=(y+1)²e^x+∫₀^xφ(x)dx一1．又由f′_x(x，0)=(x+1)e^x得 [(y+1)²e^x+φ(x)]_y=0=(x+1)e^x∣_y=0=(x+1)e^x，即e^x+φ(x)=(x+1)e^x，解得φ(x)=xe^x．故 f(x，y)=(y+1)²e^x+∫₀^xxe^xdx一1=(y+1)²e^x+(x－1)e^x．由[*] 由A=[*]∣_(0，-1)=[(y+1)²e^x+(x+1)e^x]∣_(0，1)=1， B=[*]∣_(0，-1)=[2(y+1)e^x]∣_(0，-1)=0，C=[*]∣_(0，-1)=2e^x∣_(0，-1)=2，及AC—B²=2＞0，且A＞0，故(0，一1)为极小值点，且极小值为f(0，一1)=一1．

解析

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考研数学二

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[2015年] 已知函数f(x，y)满足f″xy(x，y)=2(y+1)ex， f′x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．

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