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[2009年] 设函数y=f(x)在区间[－1，3]上的图形为 则函数的图形为( )．

admin2019-03-30  57
问题 [2009年]  设函数y=f(x)在区间[－1，3]上的图形为
         
则函数的图形为(    )．
         
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 解一  为判别F(x)的图形，首先要明确在各个区间上F(x)的性质．
    (1)当x∈[－1，0]时，f(x)=1，F’(x)=f(x)=1＞0．故F(x)单调增加，且
         
    由F(0)=0排除(C)，由F(x)=x＜0，x∈[-1，0)，排除(A)、(C)．
    (2)当x∈[0，1]时，F’(x)=f(x)≤0，F(x)单调下降，且故排除(C)．
    (3)当x∈(2，3]时，f(x)=0即F(x)在x=2处连续．
    事实上，f(x)是在[－1，3]上仅有两点x1=0，x2=2不连续的连续函数，由命题1．3．4．1(2)知，f(x)可积，再由命题1．3．4．2(1)知，F(x)必在[－1，3]上连续，据此排除(B)．于是仅(D)入选．
    解二  f(x)在区间[－1，3]上是分段连续且是有界函数，由命题1．3．4．1(2)知，f(x)在[－1，3]可积，再由命题1．3．4．2(1)知，在[－1，3]上连续．因此在x=2处连续，而选项(B)中的F(x)在x=2处不连续，排除(B)．
    由定积分性质而(C)中F(0)=1≠0，排除(C)．又当x∈[－1，0)时，而(A)中F(x)≥0，排除(A)．仅(D)入选．
    注：命题1．3．4．1  (1)若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积；
                         (2)若f(x)在[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积；
        命题1．3．4．2  (1)若f(x)在[a，b]上可积，则对任意x∈[a，b]，变上限积分函数在[a，b]上连续；
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考研数学三

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