设三阶方阵A与B相似,且|2E+A|=0。已知λ1=1,λ2=一1是方阵B的两个特征值,则|A+2AB|=________。

admin2019-08-11  62

问题 设三阶方阵A与B相似,且|2E+A|=0。已知λ1=1,λ2=一1是方阵B的两个特征值,则|A+2AB|=________。

选项

答案18

解析 由|2E+A|=0,可得|一2E—A|=0,即λ=一2是A的一个特征值。
因A与B相似,且由相似矩阵具有相同的特征值可知,λ1=1,λ2=一1也是A的特征值,所以A、B的特征值均为λ1=1,λ2=一1,λ3=一2,则E+2B的三个特征值分别为3,一1,一3。从而可得|A|=λ1λ2λ3=2,|E+2B|=3×(一1)×(一3)=9,故|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|.|E+2B|=18。
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