设积分I－dx(a＞b＞0)收敛，则( )

admin2022-06-09 48

问题设积分I－

dx(a＞b＞0)收敛，则( )

选项 A、a＜1
B、b＞1
C、a＞1且b＜1
D、a＞1或b＜1

答案C

解析依题设，有
I＝∫₀^+∞1/x^a＋x^b dx＝∫₀¹dx/x^a＋x^b＋∫₁^+∞dx/x^a＋x^b
由

＝1，知∫₀¹dx/x^a＋x^b与∫₀¹dx/x^b敛散性相同，故当b＜1时，∫₀¹dx/x^a＋x^b收敛
由

＝1，知∫₁^+∞dx/x^a＋x^b dx与∫₁^+∞dx/x^a敛散性相同，故当a＞1时，∫₁^+∞dx/x^a＋x^b收敛
综上所述，当a＞1且b＜1时，原积分收敛，C正确
∫_a^+∞1/x^p dx(a＞0)，当p＞1时，收敛;当p≤1时，发散
∫_a^b1/(x－a)^q (a＜b)，当q＜1时，收敛;当q≥1时，发散

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