2. 考研
  3. [2011年] 一容器的内侧是由图1．3．5．1 4中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲面由x2+y2=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成． 若将容器内盛满的水从容器顶点全部抽出至少需要做多少功?(长度单位为m，重力加速度为g

[2011年] 一容器的内侧是由图1．3．5．1 4中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲面由x2+y2=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成． 若将容器内盛满的水从容器顶点全部抽出至少需要做多少功?(长度单位为m，重力加速度为g

admin2019-04-17  57
问题 [2011年]  一容器的内侧是由图1．3．5．1 4中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲面由x2+y2=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成．

若将容器内盛满的水从容器顶点全部抽出至少需要做多少功?(长度单位为m，重力加速度为g m／s2，水的密度为103kg／m3．)
选项
答案如图1．3．5．15所示， [*] 以y为积分变量，则y的变化范围是[一1，2]，相应于[一1，2]上的任一小区间[y，y+ay]的一层薄水可近似看作高为dy，底面积分别为πx2的一个圆柱体，得到该积分水的体积微元为πx2dy，水的密度为ρ=103，其重力为ρgπx2dy，把这部分水抽出容器所移动的距离为2一y，因此微功元dW为 dW=πρgx2dy·(2一y)=πρg(2一y)x2dy． 当一1≤y≤1／2时，dW=πρg(2一y)(1一y2)dy(因x2+y2=1)． 当1／2≤y≤2时，dW=πρg(2一y)(2y—y2)dy(因x2+y2=2y)． 综上所述，所求的功为 W=∫1/2+2dW+∫1/2+2dW=πρg∫1/2+2(2一y)(1一y2)dy+πρg∫1/2+2(2一y)(2y—y2)dy =πpg(2y一[*])∣1/2+2+πρg(2y2一[*])∣1/2+2 =[*]πg(J)．
解析
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考研数学二

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