设f(x)是以T为周期的连续函数．证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和，并求出此常数k，

admin2020-03-10 47

问题设f(x)是以T为周期的连续函数．证明：∫₀^xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和，并求出此常数k，

选项

答案令φ(x)=∫₀^x f(t)dt一kx，考察 φ(x+T)一φ(x)=∫₀^x+Tf(t)dt一k(x+T)一∫₀^xf(t)dt+kx =∫₀^Tf(t)dt+∫_T^x+Tf(t)dt一∫₀^xf(t)dt一kT．对于其中的第二个积分，作积分变量代换，令t=u+T，有 ∫_T^x+Tf(t)dt=∫₀^xf(u+T)du=∫₀^xf(u)du， ① 于是 φ(x+T)一φ(x)=∫₀^Tf(t)dt—kT．可见，φ(x)为T周期函数的充要条件是 [*] 其中φ(x)为某一周期为T的函数．

解析

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考研数学三

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