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设fn(x)=1一(1一cosx)n,求证: 对于任意正整数n,中仅有一根;
设fn(x)=1一(1一cosx)n,求证: 对于任意正整数n,中仅有一根;
admin
2018-08-22
17
问题
设f
n
(x)=1一(1一cosx)
n
,求证:
对于任意正整数n,
中仅有一根;
选项
答案
因为f
n
(x)连续,又f
n
(0)=1,[*]所以由介值定理知存在[*]使得[*]又因为f’
n
(x)=一n(1一cosx)
n-1
sinx<0,[*]所以f
n
(x)在[*]内严格单调递减.因此,满足方程[*]的根ξ是唯一的,即[*]在[*]中仅有一根.
解析
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考研数学二
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