[2003年] 曲面z=x2+y2与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是______.

admin2019-04-08  20

问题 [2003年]  曲面z=x2+y2与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是______.

选项

答案2x+4y—z=5

解析 设曲面的显式方程为z=f(x,y),该曲面的法向量为n=(f’x,f’y,一1)=(2x,2y,一1).设切点坐标为M0(x0,y0,z0),则过切点M1(x0,y0,z0)的切平面的法向量为n=(2x0,2y0,一1).
由假设有,故x0=1,y0=2,因而z0=x02+y02=5,故所求的切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=0,即2x+4y—z=5.
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