已知矩阵A＝有特征值λ＝5，求a的值；并当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q-1AQ＝∧．

admin2016-05-09 26

问题已知矩阵A＝

有特征值λ＝5，求a的值；并当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q^-1AQ＝∧．

选项

答案因人=5是矩阵A的特征值，则由｜5E－A｜＝[*]＝3(4－a²)＝0，可得a＝±2．当a＝2时，则由矩阵A的特征多项式｜λE－A｜＝[*]＝(λ－2)(λ－5)(λ－1)，知矩阵A的特征值是1，2，5． ’ 由(E－A)χ＝0得基础解系α₁＝(0，1，－1)^T；由(2E－A)χ＝0得基础解系α₂＝(1，0，0)^T；由(5E－A)χ＝0得基础解系α₃＝(0，1，1)^T．即矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α₁，α₂，α₃．由于实对称矩阵不同特征值的特征。向量相互正交，故只需单位化，有 [*] 那么，令Q＝(γ₁，γ₂，γ₃)＝[*]，则有Q^-1AQ＝[*]

解析

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考研数学一

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已知矩阵A＝有特征值λ＝5，求a的值；并当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q-1AQ＝∧．

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