设函数f(χ)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝1，．求证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在ξ∈(0，1)，使f′(ξ)＝－k．

admin2018-06-12 54

问题设函数f(χ)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝1，

．
求证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在ξ∈(0，1)，使f′(ξ)＝－k．

选项

答案令F(χ)＝f(χ)＋kχ，则F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F′(χ)＝f′(χ)＋k，F(0)＝1，[*](1＋k)，F(1)＝1＋k，即F([*])＜(0)＜(1)．由闭区间上连续函数的中间值定理知，存在c∈([*]，1)使F(c)＝F(0)，从而F(χ)在区间[0，c]上满足罗尔定理的条件，于是，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)使F′(ξ)＝f′(ξ)＋k＝0，即f′(ξ)＝－k．

解析

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