2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3都是3维非零列向量，满足Aαi＝iαi，(i＝1，2，3)．记α＝α1＋α2＋α3． ①证明α，Aα，A2α线性无关． ②设P＝(α，Aα，A2α)，求P-1AP．

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3都是3维非零列向量，满足Aαi＝iαi，(i＝1，2，3)．记α＝α1＋α2＋α3． ①证明α，Aα，A2α线性无关． ②设P＝(α，Aα，A2α)，求P-1AP．

admin2016-07-20  39
问题 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3都是3维非零列向量，满足Aαi＝iαi，(i＝1，2，3)．记α＝α1＋α2＋α3．
    ①证明α，Aα，A2α线性无关．
    ②设P＝(α，Aα，A2α)，求P-1AP．
选项
答案条件说明α1，α2，α3都是A的特征向量，特征值依次为1，2，3，因此α1，α2，α3线性无关 ①α＝α1＋α2＋α3，Aα＝α1＋2α2＋3α3，A2α＝α1＋4α2＋9α3，用矩阵分解，矩阵 P＝(α，A2α，A2α)＝(α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3) ＝(α1，α2，α3)[*] [*]的行列式为2，因此是可逆矩阵．于是 r(α，Aα，A2α)＝r(P)＝r(α1，α2，α3)＝3，α，Aα，A2α线性无关． ②记P-1AB＝B，则AP＝PB，即 (Aα，A2α，A3α)＝(α，Aα，A2α)B． 于是B是向量组Aα，A2α，A3α对α，Aα，A2α的表示矩阵．显然其第1，2两列分别为(0，1，0)T和(0，0，1)T．第3列是A3α对α，Aα，A2α的表示系数，设为c1，c2，c3，则 P(c1，c2，c3)T＝A3α， 注意A3α＝α1＋8α2＋27α3，于是 [*] 因为(α1，α2，α3)是可逆矩阵，所以有 [*] 用初等变换法求得c1＝6，c2＝－11，c3＝6，于是 [*]
解析
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考研数学一

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