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  3. 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关向量组是( )。

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关向量组是( )。

admin2015-11-16  29
问题 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关向量组是(     )。
选项 A、α1＋α2，α2＋α3，α3－α1
B、α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3
C、α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1
D、α1＋α2＋α3，2α1－3α2＋22α3，3α1＋5α2－5α3
答案C
解析 [解题思路]  用线性无关向量组线性表示的向量组的线性相关性的判定常用下述矩阵表示法：
    设向量组(Ⅱ)：β1，…，βr能由线性无关向量组(Ⅰ)：α1，…，αs线性表示为

或    [β1，…，βr]＝[α1，…，αs][gij]s×r＝[α1，…，αs]G，
则向量组(Ⅱ)线性无关的充要条件是秩(K)＝r(或秩(G)＝r)。当r＝s时，归结为计算行列式｜K｜或｜G｜。如它们不等于0，则向量组(Ⅱ)线性无关；如等于零，向量组(Ⅱ)线性相关。
(参阅《考研数学一常考题型解题方法技巧归纳(第二版)》P310)
解一  对于(A)，令β1＝α1＋α2，β2＝α2＋α3，β3＝α3－β1，则
[α1＋α2，α2＋α3，β3＝α3－β1]＝[α1，α2，α3]＝ [α1，α2，α3]G1，
而
故向量组α1＋α2，α2＋α3，α3－α1线性相关。
    对于(B)，令β1＝α1＋α2，β2＝α2＋α3，β3＝α1＋2α2＋α3，则
[α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3]＝[α1，α2，α3]＝ [α1，α2，α3]G2，
而
故向量组α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3线性相关。
对于(C)，令β1＝α1＋2α2，β2＝2α2＋3α3，β3＝3α3＋α1，则
[α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1]＝[α1，α2，α3]＝ [α1，α2，α3]G3，
而
故向量组α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1线性相关。
对于(D)，令β1＝α1＋α2＋α3，β2＝2α1－3α2＋22α3，β3＝3α1＋5α2－5α3，则
[α1＋α2＋α3，2α1－3α2＋22α3，3α1＋5α2－5α3]
＝[α1，α2，α3]＝ [α1，α2，α3]G4，
而｜G4｜＝＝0，故(D)中向量组线性相关，仅(C)入选。
解二  也可用定义判别，对于选项(C)，令
    k1(α1＋2α2)＋k2(2α2＋3α3)＋k3(3α3＋α1)＝0，
即    (k1＋k3)α1＋(2k1＋2k2)α2＋(3k2＋3k3)α3＝0。
因α1，α2，α3线性无关，故

因该方程组的系数矩阵行列式不等于0，故该方程组只有零解，即k1＝k2＝k3＝0，所以该向量组线性无关，仅(C)入选。
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