[2003年] 过坐标原点作曲线y=lnx的切线,该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D. 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体体积V.

admin2019-04-08  30

问题 [2003年]  过坐标原点作曲线y=lnx的切线,该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.
求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体体积V.

选项

答案切线y=x/e与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体体积为 V1=πe2(1/3)=πe2/3, 或V1=∫0e2π(e一x)|y|dx=[*], 或 V1=∫01π(e—x)2dy=∫01(e—ey)2dy=πe201(1一y)2dy=[*]. 曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 V2=∫01π(e—x)2dy=∫01π(e—ey)2dy=[*] 或 V2=∫1eπ(e—x)lnxdx=[*]. 因此所求旋转体体积为 V=V1-V2=π(5e2一12e+3)/6.

解析
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