设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f’(0)＝f(1)＝f’(1)＝0．证明：方程f”(x)－f(x)＝0在(0，1)内有根．

admin2019-11-25 34

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f’(0)＝f(1)＝f’(1)＝0．证明：方程f”(x)－f(x)＝0在(0，1)内有根．

选项

答案令φ(x)＝e^－x[f(x)＋f’(x)]．因为φ(0)＝φ(1)＝0，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ’(c)＝0，而φ’(x)＝e^－x[f”(x)－f(x)]且e^－x≠0，所以方程f”(c)－f(c)＝0在(0，1)内有根．

解析

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考研数学三

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