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  3. 设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加，证明： (a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx．

设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加，证明： (a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx．

admin2018-09-25  18
问题 设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加，证明： (a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx．
选项
答案令F(t)=(a+t)∫atf(x)dx－2∫atxf(x)dx，则 F’(t)=∫atf(x)dx+(a+t)f(t)－2tf(t) =∫atf(x)dx－(t－a)f(t)=∫atf(x)dx－∫atf(t)dx =∫at[f(x)－f(t)]dx． 因为a≤x≤t，且f(x)在[a，b]上严格单调增加，所以f(x)－f(t)≤0，于是有 F’(t)=∫at[f(x)－f(t)]dx≤0， 即F(t)单调减少，又F(a)=0，所以F(b)＜0，从而(a+b)∫abf(x)dx－2∫abxf(x)dx＜0， 即(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx．
解析
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考研数学一

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