设f(x)在[a,+∞)上可导,且当x>a时,f′(x)<k<0(k为常数).证明:如果f(a)>0,则方程f(x)=0在区间[a,a一]上有且仅有一个实根.

admin2016-11-03  35

问题 设f(x)在[a,+∞)上可导,且当x>a时,f′(x)<k<0(k为常数).证明:如果f(a)>0,则方程f(x)=0在区间[a,a一]上有且仅有一个实根.

选项

答案根据定积分的保序性,在不等式f′(x)<k的两端从a到x积分,得到 [*]kdt=k(x一a), 即 f(x)一f(a)<k(x一a), 亦即 f(x)<f(a)+k(x一a)(x>a). ① 令f(a)+k(x一a)=0,解得x=x0=a—f(a)/k,在式①中令x=x0得到f(x0)<0. 又f(a)>0,由零点定理知,f(x)=0在(a,x0)=(a,a—f(a)/k)内有实数根. 再由f′(x)<0(x>a),且f(x)在x≥a处连续知,f(x)在Ea,a—f(a)/k]上单调减少,故方程f(x)=0在该区间只有一个实根.

解析 用零点定理证之.需找另一点x0,使f(x0)<0.下面用定积分性质找出x0,也可用拉格朗日中值定理找出x0,使f(x0)<0.
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