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考研
试利用区间套定理证明确界原理．
试利用区间套定理证明确界原理．
admin
2022-11-23
34
问题
试利用区间套定理证明确界原理．
选项
答案
设S为一非空有上界M的数集．因其非空，故有a
0
∈S．不妨设a
0
不是S的上界(否则a
0
为S的最大元，即为S的上确界)，记[a
1
，b
1
]=[a
0
，M]． 将[a
1
，b
1
]二等分，其中必有一子区间，其右端点为S的上界，但左端点不是S的上界，记之为[a
2
，b
2
]．再将[a
2
，b
2
]二等分．其中必有一子区间，其右端点是S的上界，而左端点不是S的上界，记之为[a
3
，b
3
]．依此类推，得到一区间套{[a
n
，b
n
]}．其中b
n
恒为S的上界，a
n
恒非S的上界，且 b
n
-a
n
=[*](n→∞) 由区间套定理，[*]ξ∈[a
n
，b
n
](n=1,2，…)． 现证ξ即为supS： (1)[*]x∈S，有x≤b
n
，令n→∞．得x≤ξ,即ξ为S的上界． (2)[*]ε∈＞0，由[*]；由于a
n
不是S的上界，因此ξ-ε更不是S的上界．所以ξ是S的最小上界，即supS=ξ．同理可证有下界的非空数集必有下确界．
解析
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0
考研数学一
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