已知二维随机变量(X,Y)的概率分布为 又P{X=1}=0.5,且X与Y不相关. (Ⅰ)求未知参数a,b,c; (Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X,Y)=1}是否独立,为什么? (Ⅲ)随机变量X+Y与X—Y是否相关,是否独立?

admin2019-05-14  24

问题 已知二维随机变量(X,Y)的概率分布为

又P{X=1}=0.5,且X与Y不相关.
(Ⅰ)求未知参数a,b,c;
(Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X,Y)=1}是否独立,为什么?
(Ⅲ)随机变量X+Y与X—Y是否相关,是否独立?

选项

答案(Ⅰ)应用联合分布、边缘分布关系及x与y不相关求参数a、b、c. 由于P{X=1}=0.5,故P{X=-1}=0.5,a=0.5—0.1—0.1=0.3. 又X与Y不相关[*]E(XY)=EX.EY,其中EX=(一1)×0.5+1×0.5=0. XY可能取值为一1,0,1,且 P{XY=-1}=P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=-1}=0.1+b, P{XY=1}=P{x=1,Y=1}+P{X=-1,Y=-1}=0.1+c, P{XY=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=1,Y=0}=a+0.1, 所以E(XY)=-0.1-b+0.1+c=c-b,由E(XY)=EXEY=0[*]c-b=0,b=c, 又b+0.1+c=0.5,所以b=c=0.2. (Ⅱ)由于A={X=1}[*]B={max(X,Y)=1},P(AB)=P(A)=0.5,0<P(B)<1,又 P(A)P(B)=0.5P(B)<0.5=P(AB),即P(AB)≠P(A)P(B),所以A与B不独立. (Ⅲ)因为Cov(X+Y,X—Y)=Cov(X,X)一Cov(X,Y)+Coy(Y,X)一Cov(Y,Y)=DX—DY, DX=EX2一(EX)2=1,EY=0,DY=EY2一(EY)2=0.6, 所以Cov(X+Y,X—Y)=1—0.6=0.4≠0,X+Y与X一Y相关[*]X+Y与X—Y不独立.

解析
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