2. 考研
  3. [2006年] 设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意t＞0都有f(tx，ty)=t-2f(x，y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮Lyf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0．

[2006年] 设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意t＞0都有f(tx，ty)=t-2f(x，y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮Lyf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0．

admin2019-04-08  43
问题 [2006年]  设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意t＞0都有f(tx，ty)=t-2f(x，y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮Lyf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0．
选项
答案在单连通域D内，对任意有向简单闭曲线L，证明 ∮Lf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0． 即证曲线积分与路径无关的等价条件二成立，其中P=yf(x，y)，Q=-xf(x，y)．可利用等价条件 [*]，即一f(x，y)一xf’x(x，y)=f(x，y)+yf’y(x，y) ① 证明．如何证明等式①，当然需用题设 f(tx，ty)=t-2f(x，y) ② 证之．为此在等式②两边对t求导，得到 xf"(tx，ty)+yf’y(tx，ty)=一2t-3f(x，y)． 注意到等式①两边不含t，对t求导后，在上式中应令t=1，得到 2f(x，y)+xf’x(x，y)+yf’y(x，y)=0， 因而式①成立，即[*]成立．于是等价条件二成立，即对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮Lyf(x，y)dy-xf(x，y)dy=0．
解析
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考研数学一

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