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  3. (2008年)设f(x)是连续函数。 (I)利用定义证明函数可导，且F′(x)=f(x)； (Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数。

(2008年)设f(x)是连续函数。 (I)利用定义证明函数可导，且F′(x)=f(x)； (Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数。

admin2018-03-11  26
问题 (2008年)设f(x)是连续函数。
    (I)利用定义证明函数可导，且F′(x)=f(x)；
    (Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数。
选项
答案[*] (Ⅱ)方法一：根据题设，有 [*] 当f(x)是以2为周期的周期函数时，f(x+2)=f(x)。从而G′(x+2)=G′(x)。因而G(x+2)-G(x)=C。取x=0得， C=G(0+2)--G(0)=0． 故 G(x+2)一G(x)=0， 即[*]是以2为周期的周期函数。 方法二：根据题设，有 [*] 对于[*]作变量替换t=u+2，并注意到f(u+2)=f(u)，则有 [*] 因而[*]于是 [*] 即[*]是以2为周期的周期函数。
解析
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考研数学一

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