求二元函数zf(x，y)=x2y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

admin2020-03-16 64

问题求二元函数zf(x，y)=x²y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

选项

答案先求在D内的驻点，即[*] 因此在D内只有驻点[*]相应的函数值为f(2，1)=4。再求f(x，y)在D边界上的最值 ①在x轴上y=0，所以f(x，0)=0。 ②在y轴上x=0，所以f(0，y)=0。 ③在x+y=6上，将y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x²(x一6)，因此f_x’=6x²一24x=0得x=0(舍)，x=0所以y=6一x=2。于是得驻点[*],相应的函数值f(4，2)=x²y(4一x一y)｜_(4,2)=一64。综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64。

解析

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考研数学二

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