[2005年] 设D={(x,y)∣x2+y2≤√2,x≥0,y≥0),[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数,计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy.

admin2019-05-10  47

问题 [2005年]  设D={(x,y)∣x2+y2≤√2,x≥0,y≥0),[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数,计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy.

选项

答案首先去掉取整符号,写出被积函数的具体分区域的表达式,再将积分区域D分成两部分,最后利用极坐标计算. 去掉取整符号将被积函数分块表示: xy[1+x2+y2]=[*] 相应地,D也分成两块D=D1∪D2,其中 D1={(x,y)∣x2+y2<1,z≥0,y≥0),D2={(x,y)∣1≤x2+y2≤√2,x≥0,y≥0), 作极坐标变换.因r=[*]=(√2)1/2=21/4,有 D1={(r,θ)∣0≤θ≤π/2,0≤r≤1),D2={(r,θ)∣0≤θ≤π/2,0≤r≤21/4), 则[*]xy[1+x2+y2]dxdy=[*]xydxdy+[*]2xydxdy =∫0π/2dθ∫01r2cosθsinθ.rdr+2∫0π/2dθ∫121/4r2cosθsinθ·rdr =∫0π/2cosθsinθdθ·[*]r401+2∫0π/2cosθsinθdθ·[*].

解析
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