设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

admin2020-03-01 22

问题设α₁，α₂，…，α_s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

选项 A、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关。
B、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关。
C、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关。
D、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关。

答案A

解析设α₁，α₂，…，α_s线性相关，则存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，使得
k₁α₁+ k₂α₂+ … +k_sα_s=0。
于是 k₁Aα₁+k₂Aα₂+ … +k_sAα_s=A(k₁α₁+k₂α₂+ … +k_sα_s)=0，
所以，Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关，故选A。
本题主要考查的是向量组线性相关的概念。题目难度不大，直接用概念逐个验证选项。对于C、D两个选项，当α₁，α₂，…，α_s线性无关时，Aα₁，Aα₂，…，Aα_s未必线性相关，也未必线性无关。例如，当α₁=(1，0)^T，α₂=(0，1)^T时，如果A=

，则Aα₁=0，所以Aα₁，Aα₂线性相关；如果A=

，则Aα₁=α₁，Aα₂=α₂，线性无关，因此选项C、D不正确。

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考研数学二

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