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  3. 设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+，则f(t)_________．

设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+，则f(t)_________．

admin2018-07-22  56
问题 设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+，则f(t)_________．
选项
答案(4πt2+1)e4πt2
解析 这是一个已知函数方程求函数问题．应先将二重积分化为积分上限函数，

则原方程化为

等式两边求导，得    f’(t)=8πte4πt2+8πtf(t)，
即    f’(t)-8πtf(t)=8πte4πt2，
这是一阶线性微分方程，其通解为
    f(t)=e-∫-8πtdt(∫8πte4πtve∫-8πtdtdt+C)=e4πt2(4πt2+C)，
由题设条件知f(0)=1，代入上式得C=1，故f(t)=(4πt2+1)e4πt2．
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考研数学一

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