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  3. 设二维随机变量(X，Y)服从均匀分布，其联合概率密度函数为 求Z＝X－Y的概率密度函数。

设二维随机变量(X，Y)服从均匀分布，其联合概率密度函数为 求Z＝X－Y的概率密度函数。

admin2019-06-04  21
问题 设二维随机变量(X，Y)服从均匀分布，其联合概率密度函数为

求Z＝X－Y的概率密度函数。
选项
答案解 Z＝X－Y的分布函数为 FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(X－Y≤z)＝[*]。 因随着z的取值范围不同，区域x－y≤z与f(x，y)的取值非零的区域即正方形区域0≤x≤2，0≤y≤2相交的情况不一样，需分别讨论，因f(x，y)取非零值的定义域的边界点为(0，0)，(0，2)，(2，2)，(2，0)，相应地，z＝x－y的可能取值为z＝0－0＝0，z＝0－2＝－2，z＝2－2＝0，z＝2－0＝2，因而z应分下述情况分别求出分布函数：(1)z＜－2，(2)－2≤x＜0，(3)0≤z＜2，(4)z≥2。 (1)当z＜－2时，区域z－y＜z(这时当x＝0时，－y＜－2，即y＞2)与正方形0≤x≤2，0≤y≤2没有公共部分(参见右图)，所以 [*] [*] (2)当－2≤z＜0时(这时当x＝0时，则－2≤x－y＝－y≤0，即0≤y≤2)，区域x－y≤z与正方形0≤x≤2，0≤y≤2的公共部分如右图阴影区域所示，则 [*] [*] (3)当0≤z＜2时，区域x－y＜z与正方形区域0≤x≤2，0≤y≤2的公共部分如右图阴影部分所示，故 [*] [*] (4)当z≥2时，x－y＝z≥2，当x＝0时，y＝－2，当y＝0时，x≥2，因而区域x－y＜z在x－y＝z的上方，它包含整个正方形区域(参见右图)，故 [*]
解析 [解题思路]  求二维随机变量(X，Y)函数(尤其是其线性函数)的分布函数常利用其定义求之，求时需对X－Y≤z中z的不同取值情况分别确定f(x，y)不为0的区域与{(x，y)｜x－y≤z｝的交集，在此交集上进行二重积分，求出分布函数，再求导，即可求得概率密度函数。
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