设级数收敛,而是收敛的正项级数,证明: 存在正数M,使|un|≤M,n=0,1,2,…

admin2022-10-08  33

问题 设级数收敛,而是收敛的正项级数,证明:
存在正数M,使|un|≤M,n=0,1,2,…

选项

答案级数[*]的前n项和为 Sn=(u1-u0)+(u2-u1)+…+(un-un-1)=un-u0 即un=Sn+u0,又因级数[*]收敛,故极限[*]存在,设此极限为S,即 [*] 因此,对于任意给定的正数ε,总存在正整数N,当n>N时恒有 |un-(S+u0)|<ε 于是|un|-|S+u0|≤|un-(S+u0)|<ε,即|un|<ε+|S+u0| 现取M=max{|u0|,|u1|,...,|uN|,ε+|S+u0|},则|un|≤M,n=0,1,2,....

解析
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