2. 考研
  3. 设A(2，2)，B(1，1)，г是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y＝y(χ)，且它与围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分 I＝∫г[πφ(y)cosπχ－2πy]dχ＋[φ′(y)sinπχ－2π]dy．

设A(2，2)，B(1，1)，г是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y＝y(χ)，且它与围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分 I＝∫г[πφ(y)cosπχ－2πy]dχ＋[φ′(y)sinπχ－2π]dy．

admin2016-07-20  49
问题 设A(2，2)，B(1，1)，г是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y＝y(χ)，且它与围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分
    I＝∫г[πφ(y)cosπχ－2πy]dχ＋[φ′(y)sinπχ－2π]dy．
选项
答案把该曲线积分分成两部分，其中一个积分的被积表达式易求原函数，另一积分可添加辅助线[*]后用格林公式． [*] 为用格林公式求I2，添加辅助线[*]．г与[*]围成区域D，并构成D的负向边界，于是 [*] 又[*]的方程：y＝χ，χ∈[1，2]，则 [*](－2πy)dχ＝∫12－2πχdχ＝－πχ2｜12＝－3π． 因此I2＝∫г(－2πy)dχ＝－4π－[*](－2πy)dχ ＝－4π＋3π＝－π． 故I＝I1＋I2＝π． [*]
解析
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考研数学一

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