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  3. [2004年3] 设n阶矩阵A与B等价，则必有( )．

[2004年3] 设n阶矩阵A与B等价，则必有( )．

admin2021-01-19  33
问题 [2004年3]  设n阶矩阵A与B等价，则必有(    )．
选项 A、当∣A∣=a(a≠0)时，∣B∣=a
B、当∣A∣=a(a≠0)时，∣B∣=一a
C、当∣A∣≠0时，∣B∣=0
D、当∣A∣=0时，∣B∣=0
答案D
解析 由矩阵等价的定义及其性质求解．
    解一  因A与B等价，其秩必相等．当∣A∣=0时，秩∣A∣＜n，故秩(B)＜n，于是∣B∣=0．所以选项(D)正确．或由命题2．2．5．4(1)即得(D)入选．
    解二  因A与B等价，由矩阵等价的必要条件(见命题2．2．5．3(4))知，存在可逆阵P与Q，使得A=PBQ，两边取行列式得∣A∣=∣P∣∣B∣∣Q∣，而∣P∣≠0，∣Q∣≠0，因而∣A∣与∣B∣同时为零或同时不为零，故当∣A∣=0时，必有∣B∣=0．仅(D)入选．
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考研数学二

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