首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出,且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ),证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出,且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ),证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
admin
2019-07-28
75
问题
已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出,且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ),证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
选项
答案
设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r,且设组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组分别为α
1
,α
2
,…α
r
;β
1
,β
2
,…,β
r
,归结证明α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
等价.可用两种方法证之. 一种方法是作向量组(Ⅲ):α
1
,α
2
,…,α
r
,β
1
,β
2
,…,β
r
证明α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
均为组(Ⅲ)的极大线性无关组,从而α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
等价. 另一种方法是用矩阵表示法,令(α
1
,α
2
,…,α
r
)=(β
1
,β
2
,…,β
r
)A,其中A为r阶矩阵.因α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
都线性无关,故A可逆,从而(β
1
,β
2
,…,β
r
)=(α
1
,α
2
,…,α
r
)A
-1
. 于是β
1
,β
2
,…,β
r
可由α
1
,α
2
,…,α
r
线性表出.当然,α
1
,α
2
,…,α
r
也可由β
1
,β
2
,…,β
r
线性表示,所以α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
等价,故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价. 证一 设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r,且α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
分别为组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组.作向量组(Ⅲ):α
1
,α
2
,…,α
r
,β
1
,β
2
,…,β
r
. 下证α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
均为组(Ⅲ)的极大线性无关组. 因组(Ⅰ)能由组(Ⅱ)线性表出,故α
1
,α
2
,…,α
r
也能由β
1
,β
2
,…,β
r
线性表出,从而组(Ⅲ)能由β
1
,β
2
,…,β
r
线性表出,又β
1
,β
2
,….β
r
线性无关,故β
1
,β
2
,…,β
r
为组(Ⅲ)的一个极大线性无关组,从而秩(Ⅲ)=r,所以组(Ⅲ)中的r个线性无关的向量组也是组(Ⅲ)的一个极大线性无关组,又因同一向量组中的极大线性无关组必等价,故α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
等价.显然组(Ⅰ)与α
1
,α
2
,…,α
r
等价,组(Ⅱ)与β
1
,β
2
,…,β
r
等价,故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)必等价(等价的传递性). 证二 因组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表示,故α
1
,α
2
,…,α
r
可由β
1
,β
2
,…,β
r
线性表示,于是存在r阶矩阵A,使 (α
1
,α
2
,…,α
r
)=(β
1
,β
2
,…,β
r
)A. 利用下述命题:设α
1
,α
2
,…,α
r
和β
1
,β
2
,…,β
r
(r≤n)都是n维向量,如果β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关且 (α
1
,α
2
,…,α
r
)=(β
1
,β
2
,…,β
r
)A, 其中A为r阶矩阵,则α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关的充分必要条件是A为可逆矩阵. 可知,A为可逆矩阵,且(β
1
,β
2
,…,β
r
)=(α
1
,α
2
,…,α
r
)A
—1
.则β
1
,β
2
,…,β
r
可由α
1
,α
2
,…,α
r
线性表出,由等价的定义知α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
等价.又组(Ⅰ)与α
1
,α
2
,…,α
r
等价,组(Ⅱ)与β
1
,β
2
,…,β
r
,等价,由等价的传递性得到组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/8xERFFFM
0
考研数学二
相关试题推荐
设D={(χ,y)|0≤χ≤1,0≤y≤},求|χ-y|dχdy.
计算sinχ2cosy2dχdy,其中D:χ2+y2≤a2(χ≥0,y≥0).
求,其中D:χ2+y2≤π2.
证明:当0<χ<1时,(1+χ)ln2(1+χ)<χ2.
设f(χ)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.
设函数f(χ)和g(χ)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g′(χ)<0’试证明存在ξ∈(a,b)使=0.
设A是m×n阶矩阵,若ATA=O,证明:A=O.
要使都是线性方程组Ax=0的解,只要系数矩阵A为()
(17年)设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且df(x,y)=yeydx+x(1+y)eydy,f(0,0)=0,则f(x,y)=_____.
随机试题
电气线路的保护措施主要有()。
配合公差包括哪些方面?
脊髓灰质炎病毒主要侵犯
A.中央前回B.第一和第二感觉区C.皮层联络区D.运动辅助区E.扣带回人类慢痛的主要投射皮层是
如果患者的尿量为4000~6000ml/d,尿比重1.082,应考虑下列哪种疾病
患者女性,30岁,孕2产1。剖宫产术后1年,现停经18周要求终止妊娠。体检T36℃,P72次/分,BP120/80mmHg,心肺无异常。下腹隆起,子宫底平脐,胎心140/分。B型超声检查示胎儿双顶径5.0cm,胎盘位于宫底部,子宫下段切口未见异常。患者
某猪场3日龄新生仔猪发病,病猪主要表现精神沉郁,不吃奶,拉黄痢,粪大多呈黄色水样,内含凝乳小片,顺肛门流下,病仔猪脱水昏迷而死。剖检表现为肠黏膜肿胀、充血或出血;胃黏膜红肿;肠膜淋巴结充血肿大,切面多汁。如果进行细菌分离培养,首选的培养基是
客户风险预警信号出现后,相关部门应组织力量积极进行控制和化解,可以采取的风险处置措施包括()。
若要求尽快地对序列进行稳定的排序,应选择()。
0
最新回复
(
0
)